Portal 
Forum
Search
Community 
Forum Statistics
Forum Team
Calendar
Members
Matematikte ki Matris Nedir?
Bir çok kişinin aklına matris (ing: matrix) dendiği anda ilk olarak baş rolünü Keanu Reeves’in oynadığı bilimkurgu filmi gelecektir. Aslında matematik ve bilgisayar bilimlerinde kullanılan matrisler ile bu filmin ilgisi var. Sonuçta, matrisler bilgisayar grafiklerinin olmazsa olmazı. Bu yazımızda gelin kısaca kendilerini tanıyalım.
Matris Nedir?
Matematikte matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu veya daha genel bir açıklamayla, toplanabilir veya çarpılabilir soyut miktarlar tablosudur. Dizeyler daha çok doğrusal denklemleri tanımlamak, doğrusal dönüşümlerde (lineer transformasyon) çarpanların takibi ve iki parametreye bağlı verilerin kaydedilmesi amacıyla kullanılırlar. Dizeylerin toplanabilir, çıkartılabilir, çarpılabilir, bölünebilir ve ayrıştırılabilir olmaları, doğrusal cebir ve dizey kuramının temel kavramı olmalarını sağlamıştır.
Bir diğer deyişle matris, doğal sayıları dikdörtgen halinde dizip gösteren bir tablodur.
Bir matrisdeki düz yatay sıraya satır dikey sıraya sütun adı verilir. Bir matris içinde dizili gösterilen sayılar öğe veya eleman olarak adlandırılır. Matrisin büyüklüğü satır ve sütun sayılarıyla ifade edilir. Yukarıdaki matrisler 4x3 (yani 4 satırlı 3 sütunlu) matrislerdir.
Genel matematiksel notasyon olarak bir matris tek büyük harf ile ifade edilir. Bazen, daha açık olarak vurgulu kalın harf ile gösterilir. Bu vurgu bilgisayar ile yazılırsa kalın yazıyla; elle yazılırsa matris harfinin altına bir (bazen iki) çizgi veya küçük dalgalı bir çizgi koymak suretiyle yapılır. Farklı bir notasyon da matrisin parantez içinde küçük harfle ifade edilen genel elemanını i satır ve j sütun alt indisli ve parantez dışında matris büyüklüğü ile vermektir. Örneğin m satırlı n sütunlu mxn türünden bir A matrisi aşağıdaki şekillerde gösterilebilir
Böylece genel olarak m ve n pozitif tamsayılar, i ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , ⋯ , m } {\displaystyle i\in \{1,2,3,4,\cdots ,m\}} {\displaystyle i\in \{1,2,3,4,\cdots ,m\}} ve j ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , ⋯ , n } {\displaystyle j\in \{1,2,3,4,\cdots ,n\}} {\displaystyle j\in \{1,2,3,4,\cdots ,n\}} olmak üzere a i , j {\displaystyle a_{i,j}} {\displaystyle a_{i,j}} sayma sayılarından oluşan yukarıdaki sayılar tablosu matris (dizey) olur. m, matrisin satır sayısını; n ise matrisin sütun sayısını belirtir. m satır ve n sütundan oluşan matrise m x n {\displaystyle mxn} {\displaystyle mxn} türünden matris denir
Matris Türleri
Matris türü nedir?
1-Kare matris: Satır sayısı sütun sayısına eşit olan matrislerdir. 4-Satır matris: Sadece bir satırdan oluşan matrislere denir. ... 5-Sütun matris: Sadece bir sütundan oluşan matrislere denir.
Involüt matris nedir?
Tanım 1.29: A² = 1 olacak şekilde A kare matrisine involut matris denir. Örneğin, birim matris bir involut matristir. a A = 5 3+4i 2-i -7i] -i 1-il dir. ... Eğer A=[aj] kare matrisi Hermitian matris ise dij=a dir.
Matris kavramı nedir?
Matris ve Vektör Kavramı Matematikte matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu veya daha genel bir açıklamayla, toplanabilir veya çarpılabilir soyut miktarlar tablosudur. Bir başka ifade ile satır ve sütunlardan oluşan tablo biçiminde verilmiş veriler dizisine matris denir.
Matris ne demektir?
Matematikte matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu veya daha genel bir açıklamayla, toplanabilir veya çarpılabilir soyut miktarlar tablosudur.
Matris nedir ne işe yarar?
Matrisler özellikle bilgisayar bilimlerinde yaygın şekilde kullanılan yapılar içerisinde yer alır. Özellikle grafik oluşturma ya da simülasyon kapsamında öne çıkan bir anlama sahiptir. Böylece bir resmin bölümü içerisinden kontrast ya da renk üzerinde baskı için hazır hale getirme şansı elde edilir.
Özel matris türleri nelerdir?
Türleri
Kare matris.
Sıfır matris.
Satır ve sütun matris.
Matris toplaması
Sayıyla (Skalerle) çarpma.
Transpoz.
Matris çarpımı
Kronecker (Doğrudan) toplama.
Daha fazla öğe...
Matris sistemi nedir?
Matematikte matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu veya daha genel bir açıklamayla, toplanabilir veya çarpılabilir soyut miktarlar tablosudur.
0 matrisi köşegen matris midir?
In birim matris ve sıfır matris de köşegendir. Bir boyutlu matrisler de daima köşegendir.
Matrisin tersi alınır mı?
matris tersi alınırken, matrisin boyutunun önemi olunmaksızın determinant alınarak işlem yapılır. Örneğin matris boyutu nxn ise bu matriste (n-1)x(n-1) boyutlarındaki alt matrislerin determinantlarının yer değiştirmiş halleri hesaplanır ve 1/|A| değeri ile skalar çarpım yapılır.
Dikdörtgen bir dizi oluşturacak şekilde satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş bir sayı kümesidir. Sayılara matrisin elemanları veya girdileri denir. Elemanların yerlerini satırlar ve sütunlar aracılığı ile gösteririz. Aşağıdaki örnek sadece 6 eleman içerirken çok daha büyük veri grupları ile işlemler yapmak zorunda kalabiliriz. Örneğin matrisimiz 100×200 lük yani 20 000 elemandan oluşuyor olabilir. Kilit avantajları işte budur. Onlar sayesinde tüm bu sayılara tek bir girdi davranıp bu sayı blokları üzerinde kolayca işlem yapabiliriz.
nullBu matrisin 2 satırı ve 3 sütunu vardır. Bu yüzden 2×3 tipinden bir matristir.
[attachment=72027]
Gündelik Hayatımızda Matrisler
Matrisler günlük yaşamda biz farkına varmasak da yoğun biçimde kullanılırlar. Örneğin, bir tren istasyonunda trenlerin hareket saatlerini gösteren tablo bir matristir. Bir lokantada müşteriye sunulan yemek listesi. bir sınıf listesi bir matristir. Şu an bu yazıyı okuduğunuz ekran bile aslında aynı mantıkla düzenlenmiştir. 800×600 çözünürlük olarak ifade ettiğimiz ekran çözünürlüğü aslında orada kaç piksel olduğu ve piksellerin yatay ve düşey olarak bir matris biçiminde nasıl yer aldığını bize anlatır. Sayılar verileri ve matematiksel denklemleri temsil edebilir. Matrisler başlangıçta hepimizin aşina olduğu doğrusal denklem sistemlerini tanımlamanın bir yolu olarak ortaya çıkmıştır. “Doğrusal” kelimesi denklemlerdeki değişkenlerin hiç üssü olmadığı anlamına gelir, bu nedenle grafikleri her zaman düz çizgiler şeklinde olur.
Örneğin x – 2y = 0 denklemi, (0,0), (2,1), (4,2) noktalarından geçen düz bir çizgi olarak gösterilebilen sonsuz sayıda çözüme sahiptir. Ama eğer bunu x – y = 1 denklemiyle birleştirirseniz, o zaman sadece bir çözüm vardır: x = 2 ve y = 1. Nokta (2,1) iki denklemin grafiklerinin kesiştiği noktadır. Bu iki denklemi tasvir eden matris, değişkenlerin katsayılarına karşılık gelecek biçimde [1 -2] ve [1 -1] olarak gösterilebilir. Görüntü işlemeden genetik analize kadar bir dizi uygulamada, bilgisayarlar genellikle ikiden fazla değişkenli doğrusal denklem sistemlerinin çözümü ile uğraşırlar.
Matris tipi gösterimler antik Çin yazıtlarında karşımıza çıksa bile kelime ilk kez 1850 yılında James Joseph Sylvester kullanmış devamında da 1858 yılında Arthur Cayley, Matrislerin Kuramı Üzerine İnceleme adlı çalışmasını yayınlayarak günümüzde kullandığımız biçimde gösterilmesi fikrini ortaya atmıştır.
Matrisler İle İlgili Günlük Hayattan Bir Örnek
A matrisi KUANTUMCAN şirketinin bir haftalık üretimini göstersin. Bu şirketin ülkenin farklı yerlerinde olmak üzere üç fabrikası olsun. Üretim miktarı l000’er birimle ölçülen dört farklı ürün üretsin.
[attachment=72028]
Bir sonraki haftanın üretim programı farklı olabilir. Bunu da B matrisiyle gösterelim.
[attachment=72029]
İki haftanın toplam üretimi nedir? Bunu iki matrisin toplamı olan A+B biçiminde gösterebiliriz.
[attachment=72030]
Gördüğünüz gibi bu işlem oldukça kolay. Ancak çarpımı biraz daha karışıktır. Diyelim ki dört ürününün birim karı 3, 9, 8, 2 olsun. Birinci fabrikanın 7, 5, 0, 1 üretimi için toplam karı hesaplayabiliriz: 7 x3+5 x 9 +0x8 + 1 x2 = 68. Ancak tek bir fabrikayla uğraşmak yerine tüm fabrikaların toplam karlarını (T) şu şekilde hesaplayabiliriz:
[attachment=72031]
Dikkatli bakarsanız birinci matristeki satırların ikincideki sütunlarla çarpıldığını fark edebilirsiniz. Bu çarpımın en temel özelliğidir. Eğer biri bunlara ek olarak hacimlerle ilgili de bilgi vermiş olsaydı tek bir matrisi çarpımı ile üç fabrikanın aynı anda hem karlarını hem de depolama gereksinimlerini hesaplayabilirdiniz. Yüzlerce fabrikası ve binlerce ürünü olan bir şirket düşünün. Birim karları ve depolama gereksinimleri her hafta değişiyor olsun. Matris cebiri sayesinde hem hesaplamalar basitleşir, hem de ayrıntıları dert etmemiz gerekmez. Buraya bir not düşmemiz gerekiyor. Bu cebir ile normal cebir arasında benzerlikler olsa da en belirgin fark çarpımında olur. A matrisini B matrisiyle ve B matrisini A matrisiyle çarpmak, çarpma işleminin tanımı dolayısıyla aynı sonucu vermeyecektir.
[attachment=72032]
nullDepo gereksinimleri 74, 54 ve 39 olmak üzere sonuç matrisinin ikinci sütununda yer alıyor.
Artur Cayley düşüncesinin sadece notasyonda kolaylık sağlayacağını ve uygulama alanı bulamayacağını öngörmüştü zamanında. Ancak günümüzde matrislerle gerçekleştirilen cebirsel işlemler ekonomide, matematikte, bilgisayar bilimlerinde, elektronikte, fizikte, uzay bilimlerinde, atom altı parçacıkların incelenmesinde, kuantumda vb. şekilde sayabileceğimiz bir çok alanda aktif olarak kullanılmaktadır.
Matris toplaması
Matrisler bileşenleri karşılıklı olarak toplanırlar.
İki matrisin toplanabilmesi için satır ve sütün sayılarının eşit olması gerekir.
C = A + B ⟹ c i j = a i j + b i j {\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} +\mathbf {B} \implies c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}} {\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} +\mathbf {B} \implies c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}
Örnek:
[attachment=72033]
Sayıyla (Skalerle) çarpma
Bir matris, bir sayıyla çarpılırsa her bileşeni o sayıyla çarpılır.
c i j = k a i j {\displaystyle c_{ij}=ka_{ij}} {\displaystyle c_{ij}=ka_{ij}}
Örnek:
[attachment=72034]
Transpoz
mxn boyutlu bir A {\displaystyle A} {\displaystyle A} matrisinin transpozu nxm boyutlu A T {\displaystyle A^{T}} {\displaystyle A^{T}} matrisidir:
[attachment=72035]
{\displaystyle A^{T}} matrisi A {\displaystyle A} {\displaystyle A}'nın satırlarını sütun yaparak elde edilir. Transpoz işlemi, matrisin ifade ettiği dönüşümün yönünü tersine çevirir.
Matris çarpımı
Matris çarpımı ancak özel bir halde mümkündür ve genelde herhangi iki matris için matris çarpımı işlemi yapılamaz.
Çarpımı istenen iki matris için ilk önce matrislerden hangisinin ön-çarpan matris, hangisinin art-çarpan matris olduğunun belirlenmesi gerekir. Çünkü çarpma işlemi, sayılarda değişmelidir, fakat matrislerde değildir. Yani genel olarak A ve B matrisi için A·B ≠ B·A
A·B matris çarpımı için A ön-çarpan ve B art-çarpan, B·A matris çarpımı için B ön-çarpan ve A art-çarpan olur. İki matris çarpımı notasyonla belirtilmekle beraber ya "A·B" ya "B·A" ya da hem "A·B" hem "B·A" geçerli olmayabilir.
Matris çarpımı ancak ön-çarpan sütun sayısı ile art-çarpan satır sayısı birbirine eşitse mümkündür. Yani (p * j) boyutlu A matrisi ile (k * l) boyutlu B matrisinin çarpımı ancak "j = k" ise mümkün olur; yoksa geçerli değildir. Eğer matris çarpımı geçerli ise, ortaya çıkartılacak çarpım matrisi, ön-çarpan satır sayısı ve art-çarpan matris sütun sayısı boyutludur Yani eğer "j = k" ise, matris çarpımı sonucu matrisi (p * l) boyutludur.
Sayısal bir örnek olarak, A matrisi (2 * 3) boyutlu ise ve B (3 * 4) boyutlu ise matris çarpımı (A·B), "j = k" (3 = 3) olduğu için geçerlidir ve matris çarpımı işlemi sonuç matrisi (2 * 4) boyutludur; ama B·A matris çarpımı işlemi geçerli değildir; çünkü "j ≠ k" (4 ≠ 2).
[attachment=72036]
Matris çarpımının algoritması şu şekildedir: İlk öğenin i'nci satırının bileşenleriyle, ikinci öğenin j'nci sütununun bileşenleri karşılıklı olarak çarpılıp toplanır ve sonuç dizeyin bileşeni olarak yazılır.
A, mxn boyutlu B de nxs boyutlu dizeyler olmak üzere mxs boyutlu sonuç dizey
A m × n B n × s = C m × s {\displaystyle A_{m\times n}B_{n\times s}=C_{m\times s}} {\displaystyle A_{m\times n}B_{n\times s}=C_{m\times s}}
olarak tanımlanır ve her öğesi
c i j = ∑ k = 1 n a i k b k j {\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}} {\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}}
ile bulunur.
Örnekler
[attachment=72037]
Matematiksel matris kavramının tarihsel kaynağı
Doğrusal denklemler sistemlerinin çözülmesi için matris kavramlarının kullanılmasının çok uzun bir tarihi bulunmaktadır. Doğrusal denklemler sistemlerin ilk matris kullanarak açıklanıp çözülmesi, özellikle kare matrislerle ifade edilip determinant kullanımı dahil, MÖ.300 ile MS.200 arasında yazılmış olan Jiu Zhang Suan Shu (Matematik Sanatinda Dokuz Bölüm) adlı eserde bulunduğu anlaşılmıştır. Bu eserden Batı Avrupa matematikçileri hiç haberdar olmamışlardır. Bundan sonra matris kavramı 2000 yıl kadar sonra 1683'te "Seki Kowa" adlı Japon matematikçisi ve Batı Avrupa'da ilk defa 1693de Alman matematikçisi Leibniz tarafından ortaya atılmış ve ilk determinant kullanarak pratik çözüm olarak Cramer'in kuralı 1750'de Gabriel Cramer tarafından gösterilmiştir.
Matris teorisinin Batı Avrupa'da geliştirilmesi daha çok determinant kavramına önem vermekteydi. Determinanttan bağımsız olarak matris matematiğinin geliştirilmesi 1858'de Arthur Cayley tarafından Memoir on the theory of matrices (Matris teorisi hakkında bir not) adında eserle başlamıştır. Matris terimi isim olarak ilk defa J.J.Syvester adlı İngiliz matematikçisi tarafından kullanılmıştır. Bu matematikçi determinantları açıp sayısal değerlerini bulmak için sütun ve satırları silip gittikçe daha küçük determinant (minor) elde ederek bu sonuca bulma üzerinde uğraşı göstermiş ve sanki bir ana determinanttan gittikçe küçülen "çocuk" determinantların bulunmasından ilham alarak şimdi matris olarak adlandırdığımız kavrama Latince kökten mater (anne) sözcüğünden çıkardığı matrix adını vermiştir.
Bir çok kişinin aklına matris (ing: matrix) dendiği anda ilk olarak baş rolünü Keanu Reeves’in oynadığı bilimkurgu filmi gelecektir. Aslında matematik ve bilgisayar bilimlerinde kullanılan matrisler ile bu filmin ilgisi var. Sonuçta, matrisler bilgisayar grafiklerinin olmazsa olmazı. Bu yazımızda gelin kısaca kendilerini tanıyalım.
Matris Nedir?
Matematikte matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu veya daha genel bir açıklamayla, toplanabilir veya çarpılabilir soyut miktarlar tablosudur. Dizeyler daha çok doğrusal denklemleri tanımlamak, doğrusal dönüşümlerde (lineer transformasyon) çarpanların takibi ve iki parametreye bağlı verilerin kaydedilmesi amacıyla kullanılırlar. Dizeylerin toplanabilir, çıkartılabilir, çarpılabilir, bölünebilir ve ayrıştırılabilir olmaları, doğrusal cebir ve dizey kuramının temel kavramı olmalarını sağlamıştır.
Bir diğer deyişle matris, doğal sayıları dikdörtgen halinde dizip gösteren bir tablodur.
Bir matrisdeki düz yatay sıraya satır dikey sıraya sütun adı verilir. Bir matris içinde dizili gösterilen sayılar öğe veya eleman olarak adlandırılır. Matrisin büyüklüğü satır ve sütun sayılarıyla ifade edilir. Yukarıdaki matrisler 4x3 (yani 4 satırlı 3 sütunlu) matrislerdir.
Genel matematiksel notasyon olarak bir matris tek büyük harf ile ifade edilir. Bazen, daha açık olarak vurgulu kalın harf ile gösterilir. Bu vurgu bilgisayar ile yazılırsa kalın yazıyla; elle yazılırsa matris harfinin altına bir (bazen iki) çizgi veya küçük dalgalı bir çizgi koymak suretiyle yapılır. Farklı bir notasyon da matrisin parantez içinde küçük harfle ifade edilen genel elemanını i satır ve j sütun alt indisli ve parantez dışında matris büyüklüğü ile vermektir. Örneğin m satırlı n sütunlu mxn türünden bir A matrisi aşağıdaki şekillerde gösterilebilir
Böylece genel olarak m ve n pozitif tamsayılar, i ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , ⋯ , m } {\displaystyle i\in \{1,2,3,4,\cdots ,m\}} {\displaystyle i\in \{1,2,3,4,\cdots ,m\}} ve j ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , ⋯ , n } {\displaystyle j\in \{1,2,3,4,\cdots ,n\}} {\displaystyle j\in \{1,2,3,4,\cdots ,n\}} olmak üzere a i , j {\displaystyle a_{i,j}} {\displaystyle a_{i,j}} sayma sayılarından oluşan yukarıdaki sayılar tablosu matris (dizey) olur. m, matrisin satır sayısını; n ise matrisin sütun sayısını belirtir. m satır ve n sütundan oluşan matrise m x n {\displaystyle mxn} {\displaystyle mxn} türünden matris denir
Matris Türleri
Matris türü nedir?
1-Kare matris: Satır sayısı sütun sayısına eşit olan matrislerdir. 4-Satır matris: Sadece bir satırdan oluşan matrislere denir. ... 5-Sütun matris: Sadece bir sütundan oluşan matrislere denir.
Involüt matris nedir?
Tanım 1.29: A² = 1 olacak şekilde A kare matrisine involut matris denir. Örneğin, birim matris bir involut matristir. a A = 5 3+4i 2-i -7i] -i 1-il dir. ... Eğer A=[aj] kare matrisi Hermitian matris ise dij=a dir.
Matris kavramı nedir?
Matris ve Vektör Kavramı Matematikte matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu veya daha genel bir açıklamayla, toplanabilir veya çarpılabilir soyut miktarlar tablosudur. Bir başka ifade ile satır ve sütunlardan oluşan tablo biçiminde verilmiş veriler dizisine matris denir.
Matris ne demektir?
Matematikte matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu veya daha genel bir açıklamayla, toplanabilir veya çarpılabilir soyut miktarlar tablosudur.
Matris nedir ne işe yarar?
Matrisler özellikle bilgisayar bilimlerinde yaygın şekilde kullanılan yapılar içerisinde yer alır. Özellikle grafik oluşturma ya da simülasyon kapsamında öne çıkan bir anlama sahiptir. Böylece bir resmin bölümü içerisinden kontrast ya da renk üzerinde baskı için hazır hale getirme şansı elde edilir.
Özel matris türleri nelerdir?
Türleri
Kare matris.
Sıfır matris.
Satır ve sütun matris.
Matris toplaması
Sayıyla (Skalerle) çarpma.
Transpoz.
Matris çarpımı
Kronecker (Doğrudan) toplama.
Daha fazla öğe...
Matris sistemi nedir?
Matematikte matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu veya daha genel bir açıklamayla, toplanabilir veya çarpılabilir soyut miktarlar tablosudur.
0 matrisi köşegen matris midir?
In birim matris ve sıfır matris de köşegendir. Bir boyutlu matrisler de daima köşegendir.
Matrisin tersi alınır mı?
matris tersi alınırken, matrisin boyutunun önemi olunmaksızın determinant alınarak işlem yapılır. Örneğin matris boyutu nxn ise bu matriste (n-1)x(n-1) boyutlarındaki alt matrislerin determinantlarının yer değiştirmiş halleri hesaplanır ve 1/|A| değeri ile skalar çarpım yapılır.
Dikdörtgen bir dizi oluşturacak şekilde satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş bir sayı kümesidir. Sayılara matrisin elemanları veya girdileri denir. Elemanların yerlerini satırlar ve sütunlar aracılığı ile gösteririz. Aşağıdaki örnek sadece 6 eleman içerirken çok daha büyük veri grupları ile işlemler yapmak zorunda kalabiliriz. Örneğin matrisimiz 100×200 lük yani 20 000 elemandan oluşuyor olabilir. Kilit avantajları işte budur. Onlar sayesinde tüm bu sayılara tek bir girdi davranıp bu sayı blokları üzerinde kolayca işlem yapabiliriz.
nullBu matrisin 2 satırı ve 3 sütunu vardır. Bu yüzden 2×3 tipinden bir matristir.
[attachment=72027]
Gündelik Hayatımızda Matrisler
Matrisler günlük yaşamda biz farkına varmasak da yoğun biçimde kullanılırlar. Örneğin, bir tren istasyonunda trenlerin hareket saatlerini gösteren tablo bir matristir. Bir lokantada müşteriye sunulan yemek listesi. bir sınıf listesi bir matristir. Şu an bu yazıyı okuduğunuz ekran bile aslında aynı mantıkla düzenlenmiştir. 800×600 çözünürlük olarak ifade ettiğimiz ekran çözünürlüğü aslında orada kaç piksel olduğu ve piksellerin yatay ve düşey olarak bir matris biçiminde nasıl yer aldığını bize anlatır. Sayılar verileri ve matematiksel denklemleri temsil edebilir. Matrisler başlangıçta hepimizin aşina olduğu doğrusal denklem sistemlerini tanımlamanın bir yolu olarak ortaya çıkmıştır. “Doğrusal” kelimesi denklemlerdeki değişkenlerin hiç üssü olmadığı anlamına gelir, bu nedenle grafikleri her zaman düz çizgiler şeklinde olur.
Örneğin x – 2y = 0 denklemi, (0,0), (2,1), (4,2) noktalarından geçen düz bir çizgi olarak gösterilebilen sonsuz sayıda çözüme sahiptir. Ama eğer bunu x – y = 1 denklemiyle birleştirirseniz, o zaman sadece bir çözüm vardır: x = 2 ve y = 1. Nokta (2,1) iki denklemin grafiklerinin kesiştiği noktadır. Bu iki denklemi tasvir eden matris, değişkenlerin katsayılarına karşılık gelecek biçimde [1 -2] ve [1 -1] olarak gösterilebilir. Görüntü işlemeden genetik analize kadar bir dizi uygulamada, bilgisayarlar genellikle ikiden fazla değişkenli doğrusal denklem sistemlerinin çözümü ile uğraşırlar.
Matris tipi gösterimler antik Çin yazıtlarında karşımıza çıksa bile kelime ilk kez 1850 yılında James Joseph Sylvester kullanmış devamında da 1858 yılında Arthur Cayley, Matrislerin Kuramı Üzerine İnceleme adlı çalışmasını yayınlayarak günümüzde kullandığımız biçimde gösterilmesi fikrini ortaya atmıştır.
Matrisler İle İlgili Günlük Hayattan Bir Örnek
A matrisi KUANTUMCAN şirketinin bir haftalık üretimini göstersin. Bu şirketin ülkenin farklı yerlerinde olmak üzere üç fabrikası olsun. Üretim miktarı l000’er birimle ölçülen dört farklı ürün üretsin.
[attachment=72028]
Bir sonraki haftanın üretim programı farklı olabilir. Bunu da B matrisiyle gösterelim.
[attachment=72029]
İki haftanın toplam üretimi nedir? Bunu iki matrisin toplamı olan A+B biçiminde gösterebiliriz.
[attachment=72030]
Gördüğünüz gibi bu işlem oldukça kolay. Ancak çarpımı biraz daha karışıktır. Diyelim ki dört ürününün birim karı 3, 9, 8, 2 olsun. Birinci fabrikanın 7, 5, 0, 1 üretimi için toplam karı hesaplayabiliriz: 7 x3+5 x 9 +0x8 + 1 x2 = 68. Ancak tek bir fabrikayla uğraşmak yerine tüm fabrikaların toplam karlarını (T) şu şekilde hesaplayabiliriz:
[attachment=72031]
Dikkatli bakarsanız birinci matristeki satırların ikincideki sütunlarla çarpıldığını fark edebilirsiniz. Bu çarpımın en temel özelliğidir. Eğer biri bunlara ek olarak hacimlerle ilgili de bilgi vermiş olsaydı tek bir matrisi çarpımı ile üç fabrikanın aynı anda hem karlarını hem de depolama gereksinimlerini hesaplayabilirdiniz. Yüzlerce fabrikası ve binlerce ürünü olan bir şirket düşünün. Birim karları ve depolama gereksinimleri her hafta değişiyor olsun. Matris cebiri sayesinde hem hesaplamalar basitleşir, hem de ayrıntıları dert etmemiz gerekmez. Buraya bir not düşmemiz gerekiyor. Bu cebir ile normal cebir arasında benzerlikler olsa da en belirgin fark çarpımında olur. A matrisini B matrisiyle ve B matrisini A matrisiyle çarpmak, çarpma işleminin tanımı dolayısıyla aynı sonucu vermeyecektir.
[attachment=72032]
nullDepo gereksinimleri 74, 54 ve 39 olmak üzere sonuç matrisinin ikinci sütununda yer alıyor.
Artur Cayley düşüncesinin sadece notasyonda kolaylık sağlayacağını ve uygulama alanı bulamayacağını öngörmüştü zamanında. Ancak günümüzde matrislerle gerçekleştirilen cebirsel işlemler ekonomide, matematikte, bilgisayar bilimlerinde, elektronikte, fizikte, uzay bilimlerinde, atom altı parçacıkların incelenmesinde, kuantumda vb. şekilde sayabileceğimiz bir çok alanda aktif olarak kullanılmaktadır.
Matris toplaması
Matrisler bileşenleri karşılıklı olarak toplanırlar.
İki matrisin toplanabilmesi için satır ve sütün sayılarının eşit olması gerekir.
C = A + B ⟹ c i j = a i j + b i j {\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} +\mathbf {B} \implies c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}} {\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} +\mathbf {B} \implies c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}
Örnek:
[attachment=72033]
Sayıyla (Skalerle) çarpma
Bir matris, bir sayıyla çarpılırsa her bileşeni o sayıyla çarpılır.
c i j = k a i j {\displaystyle c_{ij}=ka_{ij}} {\displaystyle c_{ij}=ka_{ij}}
Örnek:
[attachment=72034]
Transpoz
mxn boyutlu bir A {\displaystyle A} {\displaystyle A} matrisinin transpozu nxm boyutlu A T {\displaystyle A^{T}} {\displaystyle A^{T}} matrisidir:
[attachment=72035]
{\displaystyle A^{T}} matrisi A {\displaystyle A} {\displaystyle A}'nın satırlarını sütun yaparak elde edilir. Transpoz işlemi, matrisin ifade ettiği dönüşümün yönünü tersine çevirir.
Matris çarpımı
Matris çarpımı ancak özel bir halde mümkündür ve genelde herhangi iki matris için matris çarpımı işlemi yapılamaz.
Çarpımı istenen iki matris için ilk önce matrislerden hangisinin ön-çarpan matris, hangisinin art-çarpan matris olduğunun belirlenmesi gerekir. Çünkü çarpma işlemi, sayılarda değişmelidir, fakat matrislerde değildir. Yani genel olarak A ve B matrisi için A·B ≠ B·A
A·B matris çarpımı için A ön-çarpan ve B art-çarpan, B·A matris çarpımı için B ön-çarpan ve A art-çarpan olur. İki matris çarpımı notasyonla belirtilmekle beraber ya "A·B" ya "B·A" ya da hem "A·B" hem "B·A" geçerli olmayabilir.
Matris çarpımı ancak ön-çarpan sütun sayısı ile art-çarpan satır sayısı birbirine eşitse mümkündür. Yani (p * j) boyutlu A matrisi ile (k * l) boyutlu B matrisinin çarpımı ancak "j = k" ise mümkün olur; yoksa geçerli değildir. Eğer matris çarpımı geçerli ise, ortaya çıkartılacak çarpım matrisi, ön-çarpan satır sayısı ve art-çarpan matris sütun sayısı boyutludur Yani eğer "j = k" ise, matris çarpımı sonucu matrisi (p * l) boyutludur.
Sayısal bir örnek olarak, A matrisi (2 * 3) boyutlu ise ve B (3 * 4) boyutlu ise matris çarpımı (A·B), "j = k" (3 = 3) olduğu için geçerlidir ve matris çarpımı işlemi sonuç matrisi (2 * 4) boyutludur; ama B·A matris çarpımı işlemi geçerli değildir; çünkü "j ≠ k" (4 ≠ 2).
[attachment=72036]
Matris çarpımının algoritması şu şekildedir: İlk öğenin i'nci satırının bileşenleriyle, ikinci öğenin j'nci sütununun bileşenleri karşılıklı olarak çarpılıp toplanır ve sonuç dizeyin bileşeni olarak yazılır.
A, mxn boyutlu B de nxs boyutlu dizeyler olmak üzere mxs boyutlu sonuç dizey
A m × n B n × s = C m × s {\displaystyle A_{m\times n}B_{n\times s}=C_{m\times s}} {\displaystyle A_{m\times n}B_{n\times s}=C_{m\times s}}
olarak tanımlanır ve her öğesi
c i j = ∑ k = 1 n a i k b k j {\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}} {\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}}
ile bulunur.
Örnekler
[attachment=72037]
Matematiksel matris kavramının tarihsel kaynağı
Doğrusal denklemler sistemlerinin çözülmesi için matris kavramlarının kullanılmasının çok uzun bir tarihi bulunmaktadır. Doğrusal denklemler sistemlerin ilk matris kullanarak açıklanıp çözülmesi, özellikle kare matrislerle ifade edilip determinant kullanımı dahil, MÖ.300 ile MS.200 arasında yazılmış olan Jiu Zhang Suan Shu (Matematik Sanatinda Dokuz Bölüm) adlı eserde bulunduğu anlaşılmıştır. Bu eserden Batı Avrupa matematikçileri hiç haberdar olmamışlardır. Bundan sonra matris kavramı 2000 yıl kadar sonra 1683'te "Seki Kowa" adlı Japon matematikçisi ve Batı Avrupa'da ilk defa 1693de Alman matematikçisi Leibniz tarafından ortaya atılmış ve ilk determinant kullanarak pratik çözüm olarak Cramer'in kuralı 1750'de Gabriel Cramer tarafından gösterilmiştir.
Matris teorisinin Batı Avrupa'da geliştirilmesi daha çok determinant kavramına önem vermekteydi. Determinanttan bağımsız olarak matris matematiğinin geliştirilmesi 1858'de Arthur Cayley tarafından Memoir on the theory of matrices (Matris teorisi hakkında bir not) adında eserle başlamıştır. Matris terimi isim olarak ilk defa J.J.Syvester adlı İngiliz matematikçisi tarafından kullanılmıştır. Bu matematikçi determinantları açıp sayısal değerlerini bulmak için sütun ve satırları silip gittikçe daha küçük determinant (minor) elde ederek bu sonuca bulma üzerinde uğraşı göstermiş ve sanki bir ana determinanttan gittikçe küçülen "çocuk" determinantların bulunmasından ilham alarak şimdi matris olarak adlandırdığımız kavrama Latince kökten mater (anne) sözcüğünden çıkardığı matrix adını vermiştir.
